Modifikovaný Fourierov deskriptor

Dôvod, pre ktorý porovnávanie vlastností pre FD1 a FD2 je výpočtovo náročná úloha je ten, že dĺžka susediacich $l_{k}$ nie je rovnaká. Ak zmeníme štartovací bod, celá postupnosť $b_{k}$ popisujúca obrys sa posunie.
Tomuto nedostatku sa chceme vyhnúť definovaním hranice zloženej vo všeobecnosti z $X$ bodov (v [64] konkrétne 4 body), s uniformnou dĺžkou. Nech $z(n)=x(n) + jy(n)$, $n=0,...,N_{B}-1$ je postupnosť popisujúca obrys. Potom MFD je definovaný ako Fourierova transformácia $z(n)$.

$$Z(k) = \sum_{n=0}^{N_{B}-1} z(n)e^{-j\frac{2\pi nk}{N_{B}}} = M(k) e^{j\theta(k)}$$ (3.45)

pričom $k=0,...,N_{B}-1$. Ďalšom sú popísané vlastnosti MFD a návrh metriky, ktorá je spoľahlivá a jednoducho vypočítateľná. Nech $z^{'}(n)$ je postupnosť popisujúca hranicu, ktorá bola získaná zo $z(n)$: $z^{'}(n)$ je $z(n)$ posunuté pomocou $z_{t}$, natočené o uhol $\phi$ a zväčšené o $\alpha$, so štartovacím bodom posunutým o $l$. Explicitne vyjadrené, vzťah medzi $z'(n)$ a $z(n)$ je daný

$$z^{'}(n) = \alpha z(n-l)e^{j\phi}$$ (3.46)

Zodpovedajúce MFD $z^{'}(n)$ je

$$Z^{'}(k) = \sum_{n=0}^{N_{B}-1} z^{'}(n)e^{-j\frac{2\pi nk}{... ...^{j\phi}\sum_{n=0}^{N_{B}-1} z(n-l)e^{-j\frac{2\pi nk}{N_{B}}}$$ (3.47)

Po označení $m=n-l$, dostaneme

$$Z^{'}(k) =\alpha e^{j\phi}\sum_{m=-l}^{N_{B}-l-1} z(m)e^{-j\... ...^{-j(\phi+\frac{2\pi lk}{N})}Z(k) = M^{'}(k)e^{j\theta^{'}(k)}$$ (3.48)

pričom

$$M^{'}(k) = \alpha M(k), \theta^{'}(k) = \phi + \theta(k) - \frac{2\pi lk}{N_{B}}$$ (3.49)

Metrika vzdialenosti pre magnitúdu ($D_{m}$) a fázu ($D_{p}$) je definovaná ako

$$D_{m} = Var[ratio], D_{p} = Var[shift]$$ (3.50)

kde jednotlivé symboly značia

$$ratio(k) = \frac{M(k)}{M^{'}(k)}; shift(k)=\frac{\theta(k) - \theta^{'}(k) -\phi}{k};$$ (3.51)

$$\phi = \theta_{0} - \theta^{'}_{0}; k=-N_{C},\dots,N_{C}, k\neq0.$$ (3.52)

$\theta_{0}$ a $\theta^{'}_{0}$ značia orientáciu hlavných osí a sú definované ako

$$\theta = \frac{1}{2}tan^{-1} \left( \frac{2cm_{11}}{cm_{20}-cm_{02}}\right)$$ (3.53)

kde $cm_{ij}$ značí $(i,j)^{th}$ centrálny moment tvaru (shape).
Globálna podobnosť tvarov je potom definovaná ako vážený súčet

$$D = w_{m}D_{m} + w_{p}D_{p}$$ (3.54)

kde $w_{m}$ a $w_{p}$ sú konštanty. Empiricky [64] bolo zistené, že wm = 1 a wp = 0.1 budú vhodné pre väčšinu obrazov.