Prírodou inšpirované algoritmy

Populačná dynamika a replikátorové rovnice

Na úvod tejto časti by bolo vhodné objasniť si pojem replikátor. Replikátor je entita s nasledovnými vlastnosťami: produktivita, dlhovekosť, vernosť (presnosť; pozn.: pri vyváraní vlastných kópií). V princípe je replikátorom hocičo, z čoho sa robia kópie. Zvláštnu skupinu replikátorov tvoria aktívne replikátory, ktoré majú vplyv na pravdepodobnosť svojho kopírovania. Replikátory možno ďalej rozdeliť do dvoch skupín:

1. dead-end - tieto vytvárajú len konečný počet kópií a generácií
2. germ-line - tieto produkujú (teoreticky) nekonečný počet kópií

Každý replikátor sa pohybuje - "cestuje" - vo vozidle (vehicle). Vozidlo je entita, v ktorej replikátory cestujú dookola; entita, ktorej atribúty sú postihnuté replikátorom vo vnútri nej; entita, na ktorú možno hľadieť ako na zložený nástroj replikátorovej propagácie. Vozidlami môžu byť biologické aj nebiologické entity.

V rámci memetiky nás budú zaujímať tzv. mentálne replikátory, ako sa mémy zvyknú taktiež označovať. Mémy sa často prirovnávajú ku génom (ako bude ešte neskôr uvedené), avšak existuje rozdiel medzi nimi, ktorý je zachytený v Bonnerovom tvrdení: "Mémy sú úplne závislé na génoch, ale gény môžu existovať a meniť sa pomerne nezávisle na mémoch."
Mémy pri svojom šírení vytvárajú populácie a preto si v ďalšom priblížime niektoré poznatky z populačnej dynamiky.

Nech N = N(t) je počet jedincov jedného druhu populácie v čase t. Uvažujme najprv najjednoduchší, tzv. priamoproporcionálny model v tvare

dN/dt = A*N             (1.),
kde A je konštanta.

Riešenie tejto rovnice je v tvare N(t) = N*eAt , s N0 inicializačnou populáciou. Zrejme s takýmto modelom ale nevystačíme. A tak sa zaviedli modely s inhibičnými faktormi

dN/dt = A*N-B*N2 &npsp;&npsp;&npsp;&npsp;&npsp; (2a.),
kde A,B sú konštanty

resp. alternatívny zápis

dN/dt = A*N(1 - N/k)      (2b.),
pričom A*k = B

Riešením rovnice (2b.) získavame tvar tzv. rovnice logistickej krivky (S krivky) :

N = k / (1 + C*e-A*t)       (3.),
kde C je integračná konštanta

V praxi sa však stretávame s interagujúcimi replikátormi, ktoré sú prezentované v modeli "predátor-korisť" (tzv. idealizovaná ekológia). Uvažujme dva druhy populácií N1, N2. Potom sa tieto dve populácie riadia nasledovnými rovnicami:

dN1/dt = a*N1- b*N2       (4a.)

dN2/dt = c*N1- d*N2       (4b.),
kde a,b,c,d > 0 sú konštanty

Podľa Davisa, ak zavedieme označenie f = b*c-a2 , tak riešenie (4a) a (4b) bude v tvare:

N1= A*cos(f1/2t + p)         (5a)

N2 = B.cos(f1/2t + q)       (5b),
kde A, B, p, q sú determinované počiatočnými podmienkami. N1, N2 tu majú teda sinusoidálny harmonický charakter.)

Realistickejšie zovšeobecnenie poskytujú Volterra a Lotka, kde N1 predstavuje korisť a N2 predstavuje predátora. Ak populácia N1 je veľká, N2 sa ľahko dostane k jedlu a rastie jeho populácia. Ak teda N2 rastie, N1 ubúda a jedlo sa stáva ťažšie dostupným, čo spôsobuje hladovanie predátorov. Redukcia N2 potom vedie k nárastu N1 a toto celé sa cyklicky opakuje. Tento Volterrov-Lotkov proces možno popísať rovnicami:

dN1/dt = a*N1- b*N2*N1      (6a.)

dN2/dt = c*N1- d*N2*N1      (6b.)

Existuje fázový vzťah medzi populáciou predátorov a koristí, avšak oscilácie v populácii nie sú harmonické. Existencia stabilného stavu medzi dvoma populáciami je kriticky závislá na počiatočných podmienkach a môže ľahko vyústiť do katastrofy.

Generalizáciou modelov na viac druhov v interakcii dostaneme Schuster-Sigmundove generické replikátorové rovnice:

      (7),
kde N1+N2+...+Nn = C je pozitívne definitný invariant.

Na zachytenie dynamických aspektov jednoducho interagujúcich druhov stačia rovnice 3. alebo 4. rádu, napr.

      (8).

Nedostatkom uvedených rovníc je problém so zavedením mutácie a taktiež je ťažko popísať novovznikajúce druhy. Avšak vhodná oblasť pre aplikáciu populačnej dynamiky je v súťaži čŕt v kultúrnom transfere alebo súťaženie mémov.