Prírodou inšpirované algoritmy

Úvod

Newtonova metóda patrí medzi najznámejšie numerické metódy pre riešenie polynómov.Riešenie v obore reálnych čísel pôsobí veľmi triviálne, avšak toto zdanie sa kompletne zmení pri použití funkcie z oboru komplexnej premennej. Je ukážkou toho, ako jednoduché iteračné pravidlo generuje zložitú fraktálovu štruktúru, kde zdanlivo podobne správanie susediacich bodov môže mať v skutočnosti neočakávané výsledné riešenie.

Samotná metóda vychádza z Taylorovho radu zachovaním jeho prvých dvoch členov,

kde x0 je počiatočne zvolený bod, ktorý je nutne upraviť o hodnotu posunutia e, tak aby sa bolo možné priblížiť k hľadanému koreňu pri riešení polynómu.

Zostavením rekurentného vzťahu a aplikáciou funkcie komplexnej premennej sa získa jednoduchá formula, ktorá je schopná generovať zložité fraktálove štruktúry.

Úlohou riešenia je rozdeliť komplexnú rovinu do oblasti príťažlivosti jednotlivých koreňov, pričom každej z týchto oblastí resp. každému koreňu prislúcha určitá farba. Teda je zrejme, že stupeň polynómu určuje počet farieb na obrázku. Zaujímavý je prechod medzi oblasťami, ktorý je tvorený zmenšenými kópiami obrázku.

Rôznorodosť jednotlivých fraktálov je daná stupňom a koeficientmi polynómu, jedným z najznámejších polynómov je x3-1=0