Prírodou inšpirované algoritmy

Jednoduchý RD model - matematický popis

V tomto modeli uvažujeme, že vzory na zvieratách vznikajú ako výsledok nestabilít v difúzii v koži len počas embryonálneho vývinu. Zmeny počas rastu jedinca neberieme do úvahy. Nech C je vektor koncentrácie morfogénov. Rovnicu priestorovej a časovej dynamiky morfogénov vyjadríme:

∂C/∂t = F(C) + D²C

Kde F(c) je nelineárna vektorová funkcia a D je diagonálna matica. Rovnice môžeme prispôsobiť tak, že matica D=diag(1,d). Kde d reprezentuje relatívnu veľkosť difúzneho koeficientu morfogénu v porovnaní k ďalšiemu.

Turing povedal, že v prípade ak D=0 a C bude stabilné F(C*)=0, potom za určitých podmienok zavedenie nenulového D môže vytvoriť priestorovú rôznorodosť vzorov. Pre korektné definovanie problému musíme zaviesť ohraničenia a počiatočné podmienky. Nech B je doména problému a ∂B je jej ohraničenie. Potom počiatočné podmienky a ohraničenia zapíšeme:

n^.C = 0 na ∂B
C(r,0) = G(r)

Nech C* je riešenie F(C)=0. C je riešenie, ktoré je nemenné na celom priestore, a tak 2C*=0. Zlinearizujeme rovnice podľa bodu C*.

∂C/∂t = F(C)+D²C
∂C*/∂t=F(C*)+D²C*
∂c/∂t =αAc+D²c

Kde c=C-C* a αA=(∂F∂C), α je bezrozmerný mierkový parameter, ktorý je úmerný štvorcu nad priamkou v jednorozmernom priestore a plochou v dvojrozmernom systéme. Ak je c v priestore nemenné, správanie systému je pre malé |c| rovnaké, ak ho vyjadríme rovnicou:

Systém je stabilný, ak všetky korene determinantu rovnice

majú negatívnu reálnu časť. Vo všeobecnosti súčin všetkých koreňov rovnice, keď A je nxn, je rovný αndet[A] a súčet koreňov je αtr(A).

Pre dvoj-komponentový systém je rovnica vlastných hodnôt:

Keďže máme podmienku, že obidva korene sú záporné, det(A) je kladné číslo, t.j. obidva korene majú rovnaké znamienko a súčet koreňov je záporný.

Teraz sa vrátime k rovnici, ktorá popisuje priestorovú zmenu s ohľadom na separovanie premenných, čiže c(r,t)=W(r)T(t), kde W(r) je funkcia so skalárnou hodnotou a T(t) je vektorová funkcia.

W(r)∂T/∂t =W(r)αAT(t)+²W(r)DT(t)

Ohraničíme W funkciami, ktoré budú riešením problému s ohraničeniami:

²W(r)=-k²W(r)
r.W =0 pre r na ∂B

Tak vznikne

Pre riešenie exp(αt)T pre T(t) musí byť

a tak

α sú vlastné hodnoty matice M=αA-k2D. Ak vniká priestorová nestabilita, jedna z vlastných hodnôt pre k2 musí mať kladnú reálnu časť. Ak k2=0, žiadna z vlastných hodnôt nemá reálnu časť.

Pre dvoj-komponentový systém je rovnica, ktorá spĺňa hore uvedené podmienky

Aby riešenie kvadratickej rovnice malo kladnú reálnu časť pre danú hodnotu k, musí byť splnená aspoň jedna z podmienok:

• koeficient λ je záporný
• konštanta je záporná

Keďže sme predpokladali, že -tr(M)=–αtr(A)+k2tr(D) a tr(A) sú záporné pre stabilný stav, nemôže byť koeficient &alphy;, -tr(M) záporný. Preto jediný spôsob ako dosiahnuť, aby aspoň jeden koreň mal kladnú reálnu zložku, je že det(M) bude záporný pre nejaké hodnoty k2.

Graf ukazuje príklad, keď det(M) je záporné pre určité hodnoty k2. V tom prípade musí byť hodnota d taká, že pre hodnoty k2, det(M)=0 a derivácia det(M) vzhľadom na k2 je tiež 0. Hodnota d taká, že det(M) je rovnobežná s osou k2 sa nazýva kritická hodnota d, dc.

Horeuvedené riešenie sa hodí na modelovanie vzorov u plazov. Periodické riešenia v prevažne lineárnej doméne, ako je napríklad koža hada, vedú k vytvoreniu pruhov vo všetkých oblastiach nad určitou hraničnou hodnotou. U viacrozmerných domén nájdeme aj pruhy, aj škvrny. Popísal to napr. Murray (Murray, 1981).

Murrayova metóda riešenia využíva Helmholtzovu rovnicu, W(r)= -k2W(r). Murray popisuje vzory, ktoré vznikajú na doménach v tvare šesťuholníka, kosoštvorca alebo trojuholníka.