Prírodou inšpirované algoritmy

Dynamika iterovania a vzťah MM a JM

Keďže MM aj JM sa vytvárajú tou istou iteračnou funkciou je dosť pochopiteľné, že medzi nimi bude existovať nejaký vzťah. Tento vzťah má niečo spoločné aj s vlastnosťami MM čo sa týka dynamiky iterovania. Je zaujímavé sledovať vlastnosti JM v závislosti na tom, či príslušná konštanta c je alebo nie je prvkom MM. Najzaujímavejšou je pritom oblasť hraníc MM. Jedná sa o matematickú analógiu z fyziky dobre známych fázových prechodov, pri ktorých dochádza k dramatickým zmenám štruktúr aj dynamiky. Základný rozdiel je v tom, že bodom mimo MM odpovedajú JM tvorené izolovanými bodmi, a bodom vnútri MM odpovedajú spojité JM.

Pre jednu konkrétnu hodnotu c má dynamika iterácie pre JM aj pre MM rovnaký charakter (ustaľuje sa na konštantnej hodnote, či kmitoch s tou istou periódou, prípadne prebieha chaoticky, ale nedivergentne alebo nakoniec diverguje). Štruktúra JM a dynamika príslušnej iterácie sú závislé na tom, v ktorej časti MM bod c leží :

Vnútri hlavnej kardioidy sa iterácia ustáli na konštantnej hodnote. JM je pre c = 0 kruh. Ten sa s približovaním c k okrajom kardioidy stále viac deformuje. Napr. na prvom obrázku je Mandelbrotova množina znázorňujúca odkiaľ som bral konštanty pre JM ( bielymi bodmi sú znázornené konštanty c pre vytvorenie JM na ďalších obrázkoch. Na ďalších obrázkoch sú im prislúchajúce JM (bielymi bodmi sú vyznačené hodnoty, na ktorých sa iterácia ustáli).

Príklady takýchto Juliových množín nájdete aj medzi príkladmi v JavaApplete, ak si vyberiete z ponuky príkladov Ex pre Juliove množiny príklady MainCard.1, 2, resp. 3.



Mandelbrotova množina

JM pre bod "a", c = -0.65	JM pre bod "b", c = 0.2 + 0.05 i	JM pre bod "c", c = 0

1. Vnútri hornej "bradavice" sa iterácia ustáli na kmitoch s periódou 3. V bradaviciach smerom vpravo postupne narastá perióda o 1, vľavo o 2. JM tvorí množina sebepodobných oblastí pospájaných iba v izolovaných bodoch, pričom počet oblastí spojených v jednom bode je zhodný s periódou a s počtom rozvetvení dendritických výbežkov MM. Napr. na nasledujúcich obrázkoch sú znázornené bielymi bodmi "a", "b", "c" konštanty c pre vytvorenie JM, ktorá je znázornená na obrázkoch pod nimi. Tieto biele body zároveň znázorňujú orbity (počiatočný bod z0 je znázornený bodmi "a", "b", "c" a šípka označuje ďalšiu iteráciu z1). Ako je vidieť z obrázkov, iterovanie bude kmitať v ustálených hodnotách s konštantnou periódou. Na prvom obrázku je zobrazená JM, ktorej odpovedá perióda 3, na ďalšom s periódou 4 a na nasledujúcom s periódou 5, bielymi bodmi sú znázornené orbity.

   Tieto príklady môžte nájsť v JavaApplete medzi príkladmi Juliových množín (ponuka Ex - JS Panel), a to ako Per.3 nipple, Per.4 nipple a Per.5 nipple (nipple - bradavica). Nárast periód môžte názorne sledovať vykreslením orbít Mandelbrotovej množiny. Zvoľte si na MS Paneli ako funkciu pravého tlačidla Draw orbits. Po vykreslení obrázku pre orbity si zvoľte v pôvodnom obrázku body vo vnútri daných bradavíc a v okne pre vykresľovanie orbitov môžete sledovať zmeny jednotlivých orbitov).

   MM, kde bodu "a" odpovedá c = -0.1 + 0.75 i	MM, kde bodu "b" odpovedá c = 0.3 + 0.54 i	MM, kde bodu "c" odpovedá c = -0.5 + 0.58 i

   JM pre c= -0.1 + 0.75 i	JM pre c= 0.3 + 0.54 i	JM pre c= -0.5 + 0.58 i

2. V mieste spojenia bradavice s hlavnou kardioidou sa ustálený stav mení z konštanty na kmity s periódou odpovedajúcou tejto "bradavici" - hranica aperiodicity. Na JM sa "zárezy" v deformovanej kružnici pre vnútro kardioidy prehĺbia natoľko, že sa spoja v jedinom bode a JM nadobudne tvar podobný prípadom na predchádzajúcich obrázkoch, s tým rozdielom, že v tomto prípade sa iterácia JM ustáli v bode spojenia. Ako príklad Juliovej množiny pre tento prípad je v JavaApplete príklad Real ax2 (voľba Ex - JS Panel). Detaily oblasti medzi hlavnou kardioidou a kardioidou s periódou 2 nájdete ako príklady Main<->Left (Ex -MS Panel).

3. Vnútri bradavíc na reálnej osi, ktoré sa zľava primkýnajú k hlavnej kardioide sa iterácia ustáli na kmitoch s postupne sa zdvojujúcimi periódami. Na ďalších obrázkoch je znázornený detail MM kde smerom vľavo sú dobre viditeľné "bradavice" pre periódu 2, 4 a 8. Pomery polomerov konvergujú k Feigenbaumovej konštante, ktorej hodnota je 4.6692016090. Na prvom obrázku je znázornená konštanta c, pre ktorú je na nasledujúcich obrázkoch vytvorená JM, ktorej odpovedajú kmity s periódou 4 (orbity sú znázornené bielymi bodmi). Vnútri miniatúrnych "kópií" MM ďalej vľavo na reálnej osi je perióda hlavnej kardioidy vyššia. Príslušná JM je na ďalšom obrázku a odpovedajú jej kmity s periódou 3, ktoré sú znázornené bielymi bodmi.

   Detaily Mandelbrotovej množiny v tejto oblasti zahŕňajú v JavaApplete príklady Real ax1, 2 a 3 (Ex - MS Panel). "Kópia" Mandelbrota z reálnej osi (odpovedajúca bodu a) sa dá nájsť ako príklady ReAx copy 1 resp. 2. Odpovedajúce Juliove množiny (v Ex - JS Panel) sú príklady Real ax3 až Real ax6. Efekt zdvojovania periód je možné sledovať napríklad použitím režimu Get Period.

   Mandelbrotova množina	Zväčšená MM

   JM pre c = 1.3	JM pre c= -1.75

4. Aj mimo reálnej osi v mieste spojenia "bradavice" s najväčšou priľahlou "bradavicou" dochádza v dynamike iterácie k bifurkáciám (zdvojovaniu periód). Na nasledujúcom obrázku je detail MM, kde v dolnej časti je časť hlavnej kardioidy, ktorej sa dotýka najväčšia "bradavica". Číslami sú znázornené periódy kmitov.

   Oblasť "hornej bradavice" je v JavaApplete uvedená ako príklad Per.3 nipple ( Ex - MS Panel ). Použitím napríklad režimu Get Period je ľahké sledovať efekt zdvojovania periód. Juliove množiny odpovedajúce bodom z tejto oblasti nájdete medzi príkladmi Ex (JS Panel) ako Per.6, 9, 12 nipple.

   

   Zdvojovanie periód

5. Pre iné hraničné body hlavnej kardioidy a "bradavíc" než boli spomenuté v predošlom bode. JM má jeden stabilný bod. Ten však nie je atraktorom, nakoľko dynamika prebieha tak, že z menších častí JM postupne "preskakuje" bod do tej najväčšej a tu sa otáča donekonečna po jednej zo sústredných kružníc - tzv. Siegelove kotúče (nasledujúce obrázky).

   Príklad tejto Juliovej množiny je v JavaApplete uvedený pod názvom Siegel. Odporúčam použiť na túto Juliovu množinu režim vykresľovania orbitov (Draw Orbits), potom je možné sledovať popísané efekty.

   Siegelove kotúče ( c = - 0.39054 - 0.58679 i )	Siegelove kotúče ( c = - 0.39054 - .58679 )

6. Na tenkých vláknach MM (napr. bod označený "a" na nasledujúcom obrázku) je dynamika iterácie chaotická, ale nediverguje. Príslušná JM je tzv. dendritická. Tvorí ju teoreticky nekonečne tenké rozvetvené vlákno (napr. spodný obrázok pre bod "a" z vrchného obrázku).

   Príklad dendritickej Juliovej množiny je v JavaApplete uvedený ako príklad Dendrit1 (Ex - JS Panel) práve bod 0 + i. Ako príklady Dendrit2 a Dendr.<->Fatou je uvedený prechod tejto dendritickej Juliovej množiny na tzv. Fatou-ovú (prachovú) množinu.

   

   Mandelbrotova množina

   JM pre c = i	JM pre c = i

7. Vnútri miniatúrnych "kópií" MM na vláknach vychádzajúcich z "bradavíc", je perióda hlavnej kardioidy tak isto vyššia. Na nasledujúcom obrázku je znázornený detail MM odkiaľ sa brali konštanty c (zobrazené bielymi bodmi ) pre tvorbu JM znázornených na ďalších obrázkoch. JM na spodnom obrázku odpovedá kmitom s periódou 4 (znázornené bielymi bodmi). V prípade ďalšieho obrázku je to perióda 5 (znázornené bielymi bodmi).

   Detaily "kópií" z vlákien nájdete v JavaApplete ako príklady Dendr.Copy1, 2 a 3 (Ex - MS Panel). Juliova množina takejto "kópie" je medzi príkladmi pod názvom Dendr.Copy v Ex na JS Panel-i.

   

   Mandelbrotova množina

   JM pre bod "a", c= -0.158 - 1.0325 i	JM pre bod "b", c= -0.044 - 0.986 i

8. Mimo MM je dynamika iterácie divergentná. JM je tvorená tzv. prachovou Fatou-ovou množinou (zhlukom izolovaných bodov, ktoré majú fraktálový charakter, napr. nasledujúce obrázky).

   Príklad takejto Juliovej množiny je uvedený v JavaApplete pod názvom Fatou(dust) (Ex - JS Panel). Prechod dendritickej Juliovej množiny na prachovú je možné sledovať na príkladoch Dendrit1, Dendrit2 a Dendr.<->Fatou.

   JM pre c = 0.11031 - 0.67037 i	JM pre c = 0.11031 - 0.67037 i	Detail JM z predchádzajúceho obrázku