Prírodou inšpirované algoritmy

Úvod

Jedným z revolučných objavov matamatiky 20. storočia je, že aj najjednoduchšie dynamické systémy vykazujú komplexné vlastnosti a môžu mať režimy, v ktorých ich chovanie sa je nepredikovateľné. Dynamické systémy, pokiaľ je to možné, opisujeme a modelujeme pomocou diferenciálnych alebo diferenčných rovníc, ktoré sú diskrétnou analógiou diferenciálnych rovníc. Kľúčovým slovom pri práci s diferenčnými rovnicami je iterácia. Známu Fibonacciho postupnosť, ale aj Mandelbrotovu a Juliovu množinu generujeme pomocou rekurentných vzťahov. Medzi kvadratické rekurentné rovnice patrí Verhulstova logistická rovnica, aproximujúca vývoj populácií zvierat v čase. Spoločnou vlastnosťou týchto systémov je, že sú citlivé na počiatočné podmienky , čo je základnou charakteristikou chaotického systému.

Malthusov model rastu populácie predstavuje lineárna diferenciálna rovnica:

Podľa tohto modelu je časová zmena veľkosti populácie priamo úmerná veľkosti populácie. Keďže časť populácie tvoria samce a nemusí byť každá samica plodná a nie každý pôrod je úspešný, parameter k - miera pôrodnosti - bude menšia ako jedna, nárast populácie bude zlomkom veľkosti aktuálnej populácie. Riešením diferenciálnej rovnice pre konštantnú hodnotu k a počiatočnú hodnotu x(0) = x0 v čase 0 je

teda narastajúcim časom rast populácie nie je ohraničený a exponenciálne rastie do nekonečna. Keďže veľkosť populácie sa nezmení za ľubovoľne krátky čas (niektoré druhy zvierat sú plodné len v určitom období roka), namiesto diferenciálnej rovnice používame diferenčnú rovnicu a tak Malthusov model v rekurentnom tvare nadobudne tvar

Veľkosť populácie v nasledovnom roku je úmerná veľkosti v aktuálnom roku, kladná spätná väzba spôsobuje exponenciálny nárast.

Logistickú rovnicu - Verhulstov model rastu populácie predstavuje nelineárna diferenciálna rovnica

N - hustota poulácie

K - kapacita prostredia, alebo zaťaženosť prostredia (carrying capacity)

r - reprodukčný parameter

Pri tomto modeli sa berie do úvahy konečnosť zdrojov prostredia, alebo zaťaženosť prostredia, ktorú daná populácia nesmie presahovať, keď presiahne, vyhynie. Malou úpravou hornej rovnice dostávame:

rN - miera reprodukcie

r/KN2 - úmrtnosť, ktorá dominuje, keď hustota populácie je vysoká

Zavedením novej premennej x = N/K ktorá je pomerom hustoty populácie a zaťaženosti prostredia, horná rovnica sa zjednoduší na tvar

pričom hodnota x je z intervalu <0; 1> , pretože hustota populácie nesmie presahovať zaťaženosť prostredia .

Diskrétny tvar logistickej rovnice:

rxn môžeme chápať ako kladnú spätnú väzbu , 1 - xn ako zápornú.

Diskrétna logistická rovnica je jednoduchá nelineárna rovnica s jedným parametrom, schopná produkovať veľmi zložitú dynamiku. V tejto súvislosti bola prvýkrat popularizovaná v (May, 1976).