Prírodou inšpirované algoritmy

Lorenzov atraktor

Podkapitoly:

Applet 1
Applet 2
Prehľad appletov na webe

Pri geometrickej interpretácii spojitých nelineárnych dynamických pochodov sa niekedy objavia zaujímavé fraktálové štruktúry. Nelineárne systémy totiž vykazujú občas veľmi zvláštne správanie sa v stavovom priestore: existuje v ňom tzv. podivný atraktor, predstavovaný fázovou trajektóriou, ktorá nie je uzavretá, nevybočí z istej ohraničenej časti priestoru, nie je periodická, ani nepretína seba samú; jedná sa o nekonečne dlhú čiaru v konečnom objeme, teda fraktálovú. Takéto krivky vykazujú výraznú pravidelnosť, ale tiež značnú neusporiadanosť.

Asi najznámejšou takouto trajektóriou je Lorenzov atraktor (Lorenz, 1963). Generuje ju sústava troch nelineárnych rovníc prvého rádu, opisujúcich zjednodušený model turbulencie v atmosfére:

dx/dt = σ  (y-x)
dy/dt = r  x - x  z - y
dz/dt = x  y - b  z

kde r je normalizované Rayleighovo číslo, σ = ν / κ je Prandtlovo číslo, κ je tepelná vodivosť, ν je kinematická viskozita b = 4 / (1 + α² ) je geometrický faktor a α je vztlak. Na nasledujúcom obrázku je atraktor pre hodnoty b = 4, r = 45 a σ = 16

Lorenzov atraktor je možné názorne sledovať aj pomocou appletu 1 alebo appletu 1.

Trajektóri Lorenzovho atraktora vykazujú značnú citlivosť na počiatočné podmienky . Populárny názvom tohoto javu je motýlí efekt. Názov vznikol v roku 1972, keď Lorenz predniesol na zhromaždení American Association for the Advancement of Science vo Washington, D.C. prednášku s názvom: "Predpovedateľnosť: Môže mávnutie motýlieho krídla v Brazílii spôsobiť tornádo v Texase?". Citlivosť na počiatočné podmienky je jedným z príznakov chaotického systému.