Prírodou inšpirované algoritmy

Brownov pohyb

Brownov pohyb je model pohybu malých pevných čiastočiek v kvapaline. Pohyb čiastočiek je spôsobený termodynamickým pohybom molekúl kvapaliny. Model popísal v roku 1827 botanik R. Brown. Brownov pohyb použil Benoit B.Mandelbrot na modelovanie prírodných útvarov.

Brownov pohyb v priestore s dimenziu D = 1 jemožné popísať ako stochastický proces X(t), ktorý popisuje pozíciu čiastočky v okamihu t

Pozícia čiastočky v časovom okamihu , sa vypočíta z pozície v časovom okamihu t. V je stredná rýchlosť čiastočky a N(0, 1) je náhodná premenná s normálnym rozdelením.

Vlastnosti Brownovho pohybu

• vykazuje podobnosť s obrysom terénnych štruktúr a preto je vhodný na modelovanie týchto objektov
• prírastok X(t2) - X(t1) má normálne rozdelenie E[X(t2) - X(t1)] = 0, Var[X(t2) - X(t1)] je úmerná |t2 - t1|
• štatistická samopodobnosť prírastkov X(t0 + t)- X(t0) a (X(t0 + rt) - X(t0)) má rovnaké rozdelenie
• ak t0 = 0 a X(t0 ) = 0 tak platí následovné: X(t) aX(rt) sú štatisticky rovnaké
• prírastok X(t1) - X(t2) je stacionárny, to znamená, že stochastické vlastnosti nie sú závislé od absolútnych hodnôt t1 a t2, ale od rozdielu |t1 - t2|

Fraktálny Brownov pohyb (fBB)

Je to rozšírenie Brownovho pohybu definovaného nasledovným spôsobom:

Vlastnosti fraktálneho Brownovho pohybu

• E[X(t2) - X(t1)] = 0
• 
• X(t) a (1/rh)X(rt) sú štatisticky rovnaké
• H sa používa na riadenie nepravidleností X(t)
1. H = 1/2 : Brownov pohyb, prírastky sú nezávislé, nekorelované
2. H > 1/2 : prírastky sú pozitívne korelované - hladké krivky
3. H < 1/2 : prírastky sú negatívne korelované - hranaté, nepravidelné krivky

• Zdroj Učebnica fraktálneho modelovania