Prírodou inšpirované algoritmy

Fibonacciho čísla v geometrii

Francúzsky matematik Edouard Lucas nazval postupnosti vytvorené podľa rekurentného vzorca:

Fibonacciho postupnosťami a ich členy nazval Fibonacciho čísla.

Ak delíme niektoré z týchto čísel najbližším vyšším číslom, tzn. ďalším členom Fibonacciho postupnosti, dostávame postupnosť zlomkov:

Fibonacciho zlomky majú veľmi blízko k zlatému rezu. Čím ďalej postupujeme v postupnosti týchto zlomkov, tým viac sa blížime k pomeru zlatého rezu. Tento pomer sa so zväčšujúcími členmi postupnosti blíži k inverznej hodnote , teda 0,61803. Je možné dokázať, že

S Fibonacciho číslami nepriamo súvisí aj zaujímavý geometrický paradox. Je zrejmé, že ak rozdelíme nejaký obrazec na niekoľko častí, a potom tieto časti zložíme do nového obrazca, môže sa tvar nového obrazca od pôvodného líšiť, ich obsahy však musia ostať zhodné. Toto tvrdenie sa v geometrii považuje za jednu zo základných zásad, na ktorých stojí celá teória merania plôch. Na obrázku je možné vidieť premenu štvorca na obdĺžnik. Štvorec bol rozdelený podľa obrázku. Obsah štvorca je rovný 64 plošným jednotkám. Plocha obdĺžnika je však rovná 65 jednotkám plochy. Za povšimnutie stojí, že úsečky obmedzujúce časti štvorca i obdĺžnika majú dĺžky 3, 5, 8, 13. Sú to členy Fibonacciho postupnosti.

Ak priložíme trojuholník A k lichobežníku C a trojuholník B k lichobežníku D, ako je to znázornené na obrázku, nemôžu čiary EFK a EHK splynúť do jednej uhlopiečky EK obdĺžnika, lebo čiary EFK a EHK nie sú piamky, ale sú mierne lomené v bodoch F a H.

Ľahko to dokážeme. Nech M je bod, v ktorom sa pretína strana KL obdĺžnika s predĺženou stranou EF trojuholníka EFN. Ak je EFK priamka a nie lomená čiara, musí sa bod M stotožniť s bodom K. Overíme si výpočtom, či sa tieto body naozaj stotožňujú. Z podobnosti trojuholníka EFN a EML dostávame:

Ako vidíme, bod M sa nestotožní s vrcholom K, a to znamená, že EFK a EHK sú čiary lomené. Obdĺžnikový obrazec KLEG má skutočne obsah 65 polí, je v ňom však kosodĺžniková štrbina EFKH, ktorej obsah sa práve rovná obsahu jedného poľa.
Ako by sme museli rozdeliť strany štvorca, aby sme dostali plný obdĺžnik, a aby ich obsahy súhlasily? Pomôže nám algebra. Obsah štvorca je

Obsah obdĺžnika je

Rozdiel medzi obsahom obdĺžnika a obsahom štvorca je

Obsahy štvorca a obdĺžnika si budú rovné, ak . Delíme teda rovnicu druhou mocninou y a dostaneme kvadratickú rovnicu pre x/y:

a ak prihliadneme iba ku kladnému riešeniu, dostaneme

Jedine pri tomto iracionálnom pomere častí x a y, na ktoré se rozpadnú strany štvorca pri jeho delení na dva zhodné lichobežníky, je možné štvorec dokonale premeniť na obdĺžnik. Ak majú čísla x a y racionálnu hodnotu, nemôže byť rovná nule. Pre celé hodnoty x a y je najmenší možný rozdiel medzi obsahmi . A práve tohto rozdielu dosiahneme, keď za x a y dosadíme dvojicu susedných čísel Fibonacciho postupnosti (napr. x = 5, y = 3; x = 13, y = 8; x = 21, y = 13), pretože práve tieto čísla vyhovujú rovnici

Ak odčítame od druhej mocniny ktoréhokoľvek člena Fibonacciho postupnosti súčin členov predchádzajúceho a nasledujúceho, dostaneme vždy +1, alebo -1. Všebecne platí

To je aj prípad dĺžky strán štvorca a obdĺžnika.